乾坤巽艮 第8章 三次根号27001~64000

傍晚的苏家小院里，葡萄架下摆着一张旧木桌，桌上摊着几张草稿纸，一支钢笔在苏清乾指尖转得飞快。苏十坤抱着一本《数论初步》，苏月巽咬着冰棍，苏风艮则拿着手机查计算器。

“哥，你说三次根号27001到64000之间，到底有多少个整数的立方根是整数？”苏十坤推了推眼镜，率先发问。

苏清乾笑了笑：“这题不难，但得先搞清楚范围。三次根号27001，意思是找一个数x，使得x??在27001到64000之间。我们先找边界。”

“27001的立方根是多少？”苏月巽把冰棍棍往桌上一拍。

“30??是27000，所以27001比30??多1，三次根号27001就比30大一点点。”苏清乾在纸上写下：

30?? = 27000

31?? = 29791

32?? = 32768

33?? = 35937

34?? = 39304

35?? = 42875

36?? = 46656

37?? = 50653

38?? = 54872

39?? = 59319

40?? = 64000

“看到了吗？”苏清乾指着最后一行，“40??正好是64000，所以三次根号64000就是40，刚好是整数。而三次根号27001比30大，但30??=27000，不在范围内，因为27000 < 27001。所以第一个满足x?? ≥ 27001的整数x是31。”

苏风艮立刻接话：“所以x从31开始，到40结束，对吗？”

“对。”苏清乾点头，“那我们来数一数：31, 32, 33, ..., 40。一共是10个数。”

“等等，”苏十坤皱眉，“题目是‘三次根号27001到64000之间’，这个‘之间’是包含端点吗？64000算不算？27001算不算？”

苏月巽翻了个白眼：“你又开始抠字眼了。数学题里‘之间’通常要看上下文。但这里64000是40??，正好是整数立方，而且题目给的是闭区间的感觉。27001不是立方数，30??=27000，所以27001，所以就算包含它，也不影响结果。”

苏清乾补充道：“严格来说，我们要找的是所有整数x。

x?? ≥ 27001 → x ≥ ??27001 ≈ 30.000...（因为30??=27000）→所以最小整数x = 31

x?? ≤ 64000 → x ≤ ??64000 = 40 →最大整数x = 40

苏风艮突然说：“那如果题目是开区间呢？比如(27001, 64000)，那64000就不算了？”

“那x=40就不行，因为40??=64000，不在开区间内。”，苏十坤立刻回答。

苏月巽点头：“而且64000是40??，这么整的数，出题人肯定想让你算进去。不然干嘛不写63999？”

8

作者有话说

显示所有文的作话

第8章 三次根号27001~64000