乾坤巽艮 第3章 根号101~400

根号下的秘密

深秋的午后，苏家老宅的书房里，阳光透过落地窗洒在一张铺满草稿纸的圆桌上。苏清乾正用铅笔在纸上飞快地计算着什么，他的妹妹苏十坤端着一杯热茶走进来，身后跟着弟弟苏风艮和姐姐苏月巽。

"又在算什么？"苏十坤放下茶杯，凑过去看了一眼，"根号？"

"我在算根号101到400之间有多少个整数。"苏清乾头也不抬地说。

苏月巽拉过一把椅子坐下："这有什么好算的，根号100是10，根号400是20，所以根号101到400之间的整数就是11到19，一共9个。"

"姐，你这也太敷衍了。"苏风艮撇撇嘴，"哥问的肯定不是这么简单的问题。"

苏清乾放下笔，笑了笑："风艮说得对。我真正想算的是，根号101到400之间，有多少个数的平方根是有理数。"

苏十坤眼睛一亮："那就是完全平方数了！121、144、169、196、225、256、289、324、361，一共9个。"

"没错。"苏清乾点头，"但我想得更深，有没有什么规律啊？"

苏风艮拿起一张草稿纸："11的平方是121，12的平方是144，差23；12的平方到13的平方169，差25；13到14，169到196，差27……"他突然停下来，"哥，你看，差值是23、25、27、29每次增加2！"

"对！"苏清乾兴奋地说，"这就是平方数的一个重要性质——相邻平方数的差构成一个等差数列，公差为2。因为(n 1)??-n??=2n 1，所以当n递增时，差值每次增加2。"

苏月巽若有所思："也就是说，平方数之间的间隔越来越大。那根号101到400这个范围，刚好覆盖了11到19的平方，也就是从121到361这9个完全平方数。"

"等等，"苏风艮突然说，"根号400是20，20的平方是400，那400本身完全平方数吧？所以应该是10个？"

苏清乾想了想："题目说的是根号101到400，400包含在内，所以20的平方400确实应该算。那就是10个完全平方数：121、144、169、196、225、256、289、324、361、400。"

苏十坤拿起笔在纸上写写画画："那如果我们换个角度，看看这些平方数的个位数有什么规律呢？11??=121，个位是1；12??=144，个位是4；13??=169，个位是9；14??=196，个位是6；15??=225，个位是5"

"我发现了！"苏风艮抢着说，"个位数是1、4、9、6、5、6、9、4、1、0，然后16??=256，个位又是6……这是一个循环！"

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第3章 根号101~400