乾坤巽艮 第12章 三次根号125001~216000

苏清乾把一本泛黄的《数论初步》摊在桌上，指尖点着其中一行：“三次根号125001到216000，这个区间有意思。”

苏十坤凑过来，推了推眼镜：“哥，你又在搞什么？125001……这数字看着眼熟。”

苏清乾点点头：“没错。也就是说，三次根号下这个区间里的所有整数，它们的立方根都落在50到60之间——但不包括50，因为50??=125000不在区间内；而60??=216000正好在边界上，所以包括60。”

苏十坤皱眉：“等等，你是说，对于任意整数n∈[125001, 216000]，??n ∈ (50, 60]？”

“对，”苏清乾说，“而且只有当n是某个整数的立方时，??n才是整数，哪些整数的立方落在这里？”

苏风艮掰着手指头算：“51??是多少？”

“51?? = (50 1)?? = 50?? 3×50??×1 3×50×1?? 1?? = 125000 7500 150 1 = 132651。”苏月巽脱口而出。

“哇，姐，你心算这么猛？”，苏风艮瞪大眼睛。

苏清乾接过话：“52?? = (50 2)?? = 125000 3×2500×2 3×50×4 8 = 125000 15000 600 8 = 140608。”

“53?? = 148877，54??=157464，55??=166375，56??=175616，57??=185193，58??=195112，59??=205379，60??=216000。”苏十坤一口气报完，眼神发亮，“所以从51??到60??，一共10个完全立方数。”

苏风艮挠头：“所以，这个区间里有10个整数的立方根是整数，其余的都是无理数？”

“对，”苏清乾说，“而且这些无理数的立方根都是代数无理数，不能用分数表示，也不能写成有限小数或循环小数。”

苏月巽补充：“不过我们可以估算它们的近似值。比如??125001，它非常接近50，因为125001 = 50?? 1。我们可以用微分近似：设f(x) = ??x，则f'(x) = 1/(3x^(2/3))。在x=125000处，f'(125000)。所以??(125000 1) ≈ 50 1/7500 ≈ 50.0001333。”

“哇，这么精确？”苏风艮惊叹。

“这只是线性近似，不是精确值。”，苏十坤说，“不过对于大多数实际应用，这种精度足够了。”

苏清乾忽然笑了：“你们有没有想过，这个区间其实藏着一个‘立方数的走廊’？从50??之后开始，到60??结束，中间每一步都是一个立方数的‘站点’。就像火车从50站开到60站，每站停靠一次。”

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第12章 三次根号125001~216000