乾坤巽艮 第10章 三次根号64001~125000

苏清乾把草稿纸往桌上一铺，笔尖先写了“40??=64000”。

“题目是三次根号64001到125000，”他说，“也就是说，立方根从刚过40，一直到50。”

苏十坤凑过去看：“40??是64000，50??是125000，所以这个区间刚好夹在两个整十数的立方之间。”

苏月巽点点头：“那最小值就是三次根号64001，它比40大一点点；最大值是三次根号125000，刚好等于50。”

苏风艮转着笔：“所以答案不是两个整数，而是一个范围：40到50之间，但左端点不能写成40。”

苏清乾在纸上补了一行：

三次根号64001 > 40

三次根号125000 = 50

“这个细节很重要。”苏清乾说，“如果写成40到50，就错了。因为64001已经比64000大，立方根也一定比40大。”

苏十坤想了想：“那它到底比40大多少？能不能估算？”

苏清乾把式子写成：

40?? = 64000

64001 = 40?? 1

“差1，看起来很小。但立方根不是线性变化，不能直接说它比40大0.001。”

苏月巽接话：“可以用微分近似。设 f(x) = x^(1/3)，那么 f'(x) = 1/(3x^(2/3))。”

苏风艮立刻算：“x取64000时，x^(1/3)=40，x^(2/3)=1600。所以 f'(64000) = 1/4800。”

苏十坤惊讶：“这么小？”

苏月巽解释：“因为立方根函数越往大数走，变化越慢。所以64001只比64000多1，立方根大约只增加1/4800。”

苏风艮算出近似值：

三次根号64001 ≈ 40 1/4800 ≈ 40.000208

苏清乾提醒：“这是近似，不是精确值。真正要写范围时，还是写成

40 < 三次根号64001 < 40.01

就够稳妥了。”

苏十坤问：“那这个区间里有多少整数的立方根是整数？”

苏风艮马上答：“就是41到50的立方。”

苏月巽在列：

41?? = 68921

42?? = 74088

43?? = 79507

44?? = 85184

45?? = 91125

46?? = 97336

47?? = 103823

48?? = 110592

49?? = 117649

50?? = 125000

苏清乾看着这些数说：“所以64001到125000之间，只有41到50这十个数对应的立方。”

苏十坤忽然想到：“那64001本身是不是某个整数的立方？”

苏风艮摇头：“不是。40??=64000，41??=68921，64001夹在中间，所以它不是完全立方数。”

苏月巽补充：“这个区间里，完全立方数只有十个：从41??到50??。”

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第10章 三次根号64001~125000