震离坎兑 第2章 五次根号1~1十万

苏五震把一本厚厚的数学手册摊在桌上，封皮上写着《初等数论与根式近似》。苏六坎凑过来，眼睛一亮：“哥，你又在研究这个？”

苏七离正剥着橘子，闻言也抬起头：“什么好东西？”

苏八兑坐在窗边，手里转着一支笔，安静地等着。

苏五震清了清嗓子：“我在想，五次根号从1到100000，这些数里有多少个是整数。”

苏六坎立刻接话：“这个简单。五次方嘛，就是某个数自乘五次。1的五次方是1，2的五次方是32，3的五次方是243，4的五次方是1024，5的五次方是3125，6的五次方是7776，7的五次方是16807，8的五次方是32768，9的五次方是59049，10的五次方是100000。所以1到100000之间，五次根号是整数的正好有10个。”

苏七离把一瓣橘子塞进嘴里，含糊地说：“那剩下的呢？剩下的都是无理数吧？”

苏八兑终于开口了：“不一定。如果一个数本身是某个有理数的五次方，那它的五次根号就是有理数。但1到100000之间的整数，除了那10个完全五次方数，其他的五次根号确实都是无理数。因为如果一个整数的五次根号是有理数，那它一定可以，所以结果不可能是整数。”

苏五震点点头：“八兑说得对。所以这100000个数里，只有10个是‘干净’的整数，其余99990个都是无理数，开出来是无限不循环小数。”

苏六坎拿起笔在纸上写起来：“那我们来算算具体的值吧。比如五次根号2，大约是多少？”

苏五震接着说：“那五次根号3呢？log10(3)约0.4771，除以5得0.09542，10的0.09542次方约1.2457。五次根号3约等于1.2457。”

苏七离忽然想到什么：“等等，你们有没有发现，随着数字变大，五次根号的增长越来越慢？比如从1到32，五次根号从1涨到2，跨度31；但从3125到100000，五次根号才从5涨到10，跨度却接近七万。”

苏八兑在纸上画了一条曲线：“可以这么理解，五次根号函数在x大于1时是单调递增的，但导数越来越小，曲线越来越平缓。到了100000附近，五次根号100000等于10，而五次根号99999大约等于9.9998，几乎看不出差别。”

苏五震感慨道：“所以如果我们把这100000个五次根号值画出来，前面一小段会明显上升，后面绝大部分都挤在5到10之间，密密麻麻的。”

苏七离说：“那中间有没有什么‘漂亮’的数？比如五次根号243等于3，这个很整齐。还有五次根号1024等于4，也还行。”

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第2章 五次根号1~1十万