震离坎兑 第15章 四次根号2401万1~4096万

苏五震与苏六坎兄弟俩，苏七离与苏八兑姐妹俩，四人围坐在院中石桌旁，桌上摊开一叠写满数字的稿纸。天色微凉，晚风拂过，苏五震率先开口：“今日我们讨论一个有趣的问题：四次根号24010001到40960000之间的整数，哪些是完全四次方数？”

苏六坎推了推眼镜，认真道：“首先得明确，四次根号下某个数是整数，意味着这个数本身是一个整数的四次方。也就是说，我们要找所有整数 n ，使得 n^4 落在区间 [24010001, 40960000] 内。”

苏七离点头：“那我们先估算一下这个区间的四次根范围。”她拿起笔，在纸上写下：

“先算 sqrt[4]{24010001} 和 sqrt[4]{40960000} 。”

苏八兑凑过来：“40960000看起来很眼熟……是不是和16有关？”

苏六坎眼睛一亮：“对！因为 16^4 = (2^4)^4 = 2^{16} = 65536 ，不对，太小了。等等，我们算错了。”

苏五震笑道：“别急，我们一步步来。先算 10^4 = 10000 ， 20^4 = 160000 ， 30^4 = 810000 ， 40^4 = 2560000 ， 50^4 = 6250000 ， 60^4 = 12960000 ， 70^4 = 24010000 ， 80^4 = 40960000 。”

苏七离惊讶：“70的四次方正好是24010000，而80的四次方是40960000！”

苏六坎立刻接话：“所以 70^4 = 24010000 ，但我们的区间是从24010001开始，比它大1，因此70的四次方不包含。而 80^4 = 40960000 ，是上限，包含在内。”

苏八兑追问：“整数 n ，使得 n^4 in [24010001, 40960000] ，也就是 n 从71到80之间的整数，对吗？”

- 71^4 = (71^2)^2 = 5041^2 = 25411681

- 72^4 = (5184)^2 = 26873856

- 73^4 = (5329)^2 = 28398241

- 74^4 = (5476)^2 = 29986576

- 75^4 = (5625)^2 = 31640625

- 76^4 = (5776)^2 = 33362176

- 77^4 = (5929)^2 = 35153041

- 78^4 = (6084)^2 = 37015056

- 79^4 = (6241)^2 = 38950081

- 80^4 = 40960000

苏五震补充：“有趣的是，70^4 = 24010000，刚好比下限小1；80^4 = 40960000，正好是上限。这说明这个区间是精心设计的，边界都是整数的四次方。”

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第15章 四次根号2401万1~4096万