友情限定 第23章 同辉

南城十九中的校园里，梧桐树的枝桠在早春的风中轻轻摇曳，高二（1）班的教室里弥漫着一股假期刚刚结束的慵懒与忙乱。君谦推开教室后门时，清晨的阳光正好斜斜地穿过玻璃窗，在他浅灰色的卫衣上投下一道温暖的光痕。

“哟，学神来了！”靠窗的男生头也不抬地招呼道，手里钢笔在作业本上划出潦草的字迹，“数学最后两道大题借我参考一下？”

君谦轻轻“嗯”了一声，径直走向教室后排靠窗的位置。

“谦哥，你寒假作业写完了吗？”许天逸转过头来，手里攥着几张皱巴巴的试卷，“物理最后那个实验设计我完全没思路……”

“写完了。”君谦头也不抬，慢慢擦拭着程榭那边的桌面，“实验设计要注意控制变量，你参考课本第78页的案例。”

教室里此起彼伏的交谈声、翻书声和赶作业的沙沙声交织在一起。君谦擦完桌子，从书包里取出两个保温杯，起身去教室角落的饮水机接热水。经过许阅座位时，这个扎着马尾辫的女生正手忙脚乱地抄着英语作文。

“君谦！”许阅像抓住救命稻草般拽住他的衣角，“‘可持续发展’英文怎么说？脑子左右互搏，想不起来。”

“Sustainable development.”君谦平静地回答，顺手把她桌上歪倒的笔筒扶正，“你还有二十分钟。”

“啊啊啊要死了！”许阅哀嚎一声，埋头继续奋笔疾书。

饮水机旁，季星来正在泡茶，看到君谦过来，挑了挑眉：“你家那位呢？居然比你晚到，少见啊。”

君谦拧开保温杯的盖子，热气氤氲中他的表情没什么变化：“他有点事。”声音很轻，但季星来敏锐地注意到他说的是“他”而不是“程榭”，一副正宫作派。

“经过一个假期，你俩距离缩短了啊！”季星来肩部撞了他。

君谦看向他杯子里起起伏伏的金银花茶，“怎么，加入范大爷的养生大队了?”

“你不懂上火的痛，”他牙齿磨蹭到腔内某块软肉，“嘴里三溃疡，疼得我心凉。”

“撒把盐，让身体知道谁是主人。”

“嘚，你特么个损色儿。”

想到什么，君谦在季星来“骂骂咧咧”的目光里捞了点花茶。

茶叶缓慢舒展，水色染上轻褐，程榭才到，将将入春，气温依旧很低，他一路赶着来的学校，此刻正坐在椅子上喘气，君谦随手摸了本书在一旁扇风。

估计是跟物理杠上了，一班开学第一课依旧归欧甜甜，她进教室将教案往台上一搁，语气里带着几分得意，像是发现宝藏般：“假期作业有道题特别有意思，你们做出来了吗？”

她捏起一支粉笔，在黑板上轻轻点了点。教室里静得只剩下窗外树叶的沙沙声。

“这道题，”她推了推眼镜，镜片后的眼睛扫过全班，“是去年国际物理奥林匹克竞赛中最难的一道题，全场只有5%的选手完全解对。”

阳光透过窗棂，在课桌上切割出几何形状的光斑，四十颗所谓“天之骄子”的心脏不约而同地加速跳动。

“两个相同的小球，质量均为m，用长度均为L的不可伸长轻绳连接在一起。初始时，两球静止置于光滑水平面上，绳刚好拉直。现给其中一球一个垂直于绳的初速度v0。求：当两球运动至第一次共线时的速度大小和方向，以及此时绳中张力。”

题目不长，但信息量极大。几个学生下意识地翻开草稿本，笔尖已经开始跃动。

欧老师目光在教室里转了一圈，“君谦，程榭，请上来解答。”

全班的目光聚焦在两人身上。君谦和程榭对视一眼，同时起身走向讲台，各自拿起一支粉笔，分占黑板左右。

君谦的黑板左侧很快布满了整齐的公式。他先建立坐标系，设两球坐标分别为(x1,y1)和(x2,y2)，约束条件为(x1-x2)^2 (y1-y2)^2=L^2。接着引入相对坐标和质心坐标，将二体问题分解为质心平动和相对运动。

“系统质心匀速运动，因合外力为零。”君谦写下第一个关键点，字迹工整如印刷体。他通过拉格朗日乘数法处理约束，列出两个小球的运动方程。

程榭却站在黑板右侧，粉笔在指尖转了一圈。他突然画了一个圆，然后在圆上点了两个对称的点。

“想象它们在旋转。”程榭自言自语般低声说，随即在圆心处标出质心，“从质心系看，两球永远关于质心对称。”

他跳过繁琐的坐标建立，直接指出：“初速度v0赋予系统动能，但角动量守恒！”程榭的笔迹潦草却充满力量，他迅速计算系统初始角动量：“mv0(L/2)。”

君谦采用着微积分方程：通过约束条件求导得相对速度关系，再代入动量守恒和能量守恒方程。他的思路系统而严谨，一步步推导，如同搭建一座精密的数学建筑。

“由能量守恒：1/2mv0^2=1/2mv1^2 1/2mv2^2”

“由动量守恒：mv0=mv1x mv2x，0=mv1y m*v2y”

程榭的解法却极具几何直观：“当两球第一次共线时，在质心系中，它们正好处于‘两端’。”他画出两个小球的位置关系，“此时绳与初速度方向夹角θ满足能量和角动量守恒。”

全班安静无声，只有粉笔与黑板碰撞的哒哒声。两种不同的思维在黑板上展开竞技。

君谦的推导已经进行到关键步骤。他引入绳与初速度方向的夹角θ作为参数，通过微积分求得角速度变化关系。他的计算详尽而精确，每一个步骤都清晰可循。

“由几何关系：v1相对质心的速度可分解为径向和切向...”君谦写下v_r和v_θ的表达式。

程榭却突然灵感迸发：“等等！这其实类似于开普勒问题！”他在黑板上画出一个椭圆，然后突然擦掉，“不对，是圆形的特例！两球在质心系中做圆周运动！”

这一洞察让几个后排的同学忍不住轻声惊叹。程榭迅速计算：“在质心系中，每个球绕质心做匀速圆周运动，半径L/2，角速度ω。”

欧甜甜嘴角微微上扬，但什么也没说。

君谦不为所动，继续他的方法。他已经推导出夹角θ随时间变化的关系，正在解第一次共线时的特殊条件。“当两球与质心共线时，相对速度方向垂直于连线...”他的粉笔一路向下，已经写了半面黑板。

程榭的解法更加简洁优雅：“由角动量守恒：mv0(L/2)=2m(L/2)^2*ω，所以ω=v0/L”

他接着计算：“当两球第一次共线时，在质心系中，每个球的速度大小为ω*(L/2)=v0/2，方向垂直于绳。”

然后转换回实验室系：“质心本身以速度v0/2沿初速度方向运动，所以每个球的速度为质心速度与相对质心速度的矢量合成。”

程榭迅速画出矢量合成图：“一球速度v1=v0/2 v0/2=v0，方向与初速度相同；另一球v2=v0/2-v0/2=0。”

结果出来的瞬间，教室里响起一阵倒吸凉气的声音。这么复杂的问题，答案竟然如此简洁？

君谦的详细推导也得出了相同的结果。当他计算绳中张力时，两人的方法再次分道扬镳。

君谦通过运动方程和约束条件求二阶导数得加速度，再计算张力：“T=mω^2(L/2)=m(v0/L)^2(L/2)=m*v0^2/(2L)”

程榭则从能量角度考虑：“系统动能全部转化为转动能，张力提供向心力，直接T=m(v0/2)^2/(L/2)=mv0^2/(2L)”

两人几乎同时得出了相同的结果。

黑板左右两侧，两种风格的解答相映成趣：一侧是工整详尽的解析推导，一侧是直观简洁的物理洞察。

欧甜甜终于走上前来，“完美。两种方法都是正确的。”

她转向全班：“君谦的方法系统而严谨，适合解决任何类似问题。程榭的方法巧妙而直观，抓住了物理本质。”顿了顿，又说：“最优秀的物理学家既需要君谦的严谨，也需要程榭的直觉。”

下课铃响起，同学们纷纷围到讲台前抄录两道解法。君谦和程榭各自放下粉笔，手上沾满了白色粉末。

“你的圆周转动想法很巧妙。”君谦轻声说，眼睛看着黑板。

程榭咧嘴一笑，“你的微分方程也很稳健，换道题可能就是我解不出来的了。”

“榭哥，等等！”周至贤指着黑板上那个简洁的圆和矢量图，拦住了正要离开的两人，“这个质心系转换的思路太神了，你怎么想到的？”

程榭拍了拍手上的粉笔灰，漫不经心地倚在讲台边：“其实就像两个人拉着一根棍子旋转，站在中间看两边，自然就是对称的。”他拿起粉笔，又在那个圆上点了一下：“关键是意识到角动量守恒，mv0(L/2)这个初始角动量，在质心系里就是系统的总角动量。”

许阅皱着眉头：“可是为什么在质心系中一定是圆周运动呢？”

一直在一旁安静整理笔记的君谦忽然开口：“因为约束条件。”他走上前来，用依然干净的手指指着自己那半边黑板：“从运动方程可以看出，在质心系中，每个球到质心的距离恒为L/2，所以运动轨迹必然是个圆。”

程榭点头：“没错，而且因为初始速度垂直于绳，切向速度立即就确定了。”他看向君谦：“你的微分方程虽然麻烦，但能推出一般情况下的运动规律。”

君谦微微颔首：“你的物理直觉直接抓住了对称性，跳过了繁琐的数学。”

周至贤和许阅在两人之间来回看着，忽然恍然大悟。许阅拍了下额头：“所以两种方法本质上是一样的，只是一个从数学推导出物理，一个从物理直觉简化数学？”

“嗯，有时最难的题，本就不止一种解法。”

程榭忽然问：“那本理论力学，能借我看看吗？”

君谦挑眉：“终于对‘迂回’的方法感兴趣了？”

“只是想知道你眼中的世界。”程榭说。

窗外，云朵飘过，形状变幻无穷，却都遵循着同样的天空。

还有一章，七夕节快乐呀！

作者有话说

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第23章 同辉